Relation

allgemein eine Beziehung oder ein Verhältnis zwischen mehreren Objekten. In der Mengentheorie wird eine n-stellige Relation extensional als Menge von n-Tupeln 1, …, an> verstanden und ist somit Teilmenge eines n-fachen kartesischen Produkts von Mengen. Eine zweistellige R. ℜ besteht aus einem Argumentbereich, definiert als die Menge aller x, so dass für ein y: ∈ ℜ, und einem Wertebereich, definiert als die Menge aller y, so dass für ein x: ∈ ℜ(für ˲ ∈ ℜ˱ schreibt man auch ˲xℜ˱). Häufig werden R.en durch Bedingungen charakterisiert. So heißt eine R. ℜ – reflexiv, wenn für alle x: xℜx – symmetrisch, wenn für alle x, y aus xℜy yℜx folgt – antisymmetrisch, wenn für alle x, y gilt, dass aus xℜy und yℜx x=y folgt – transitiv, wenn für alle x, y, z aus xℜy und yℜz xℜz folgt und – konnex, wenn für alle x, y entweder xℜy oder yℜx.

R.en, die reflexiv, symmetrisch und transitiv sind, heißen Äquivalenzrelationen. Sind sie reflexiv und transitiv heißen sie Quasi-Ordnungen. Halbordnungen sind reflexive, antisymmetrische und transitive R.en. Besteht zudem Konnexität, so liegt eine lineare Ordnung vor. – Die algebraische Behandlung der R.en wurde, nach Ansätzen von De Morgan, in der sog. relationalen Algebra von Peirce, Schröder und Tarski weiterentwickelt. Sie ist ein unentscheidbares Fragment der Prädikatenlogik. Die mathematische Nützlichkeit des mengentheoretischen Relationsbegriffs ergibt sich daraus, dass auf seiner Grundlage Ordnungen und Funktionen mathematisch exakt und übersichtlich definiert werden können.

UM

LIT:

• A. Tarski: On the Calculus of Relations. In: Journal of Symbolic Logic 6 (1941). S. 7389.