Definierbar,Definierbarkeit
(1) Ein Prädikatausdruck P heißt d. in einer Theorie T der Sprache S, wenn es in S eine Menge K von nicht-logischen Konstanten und eine Formel A gibt derart, dass alle in A vorkommenden nicht-logischen Konstanten Elemente von K sind und P(x1…, xn) ↔ A in beweisbar ist (wobei x1…, xn voneinander verschiedene Variablen sind). Die Theorie T wird dabei verstanden als eine unter logischer Folgerung abgeschlossene Satzmenge. Nach Beths Definierbarkeitstheorem, das eine Beobachtung von Padoa verallgemeinert, ist P in T durch K d. genau dann, wenn zwei beliebige Modelle für T mit gleichem Individuenbereich, die bezüglich der Interpretation aller Konstanten in K übereinstimmen, auch bezüglich der Interpretation von P übereinstimmen. Die Übereinstimmung beliebiger Modelle für T mit vorgegebenem Individuenbereich ist somit ein Kriterium für die explizite D. von P. Die D. von Funktionsausdrücken wird analog verstanden. (2) Die Charakterisierbarkeit einer Modellklasse M durch eine Theorie T derart, dass die Elemente von M gerade die Modelle sind, welche T erfüllen, wird ebenfalls als D. bezeichnet. Ein wichtiges Ergebnis der Modelltheorie besagt, dass M durch eine Theorie erster Stufe d. ist genau dann, wenn sowohl M als auch das Komplement von M unter Isomorphie- und Ultraproduktbildung abgeschlossen ist. (3) Von beweistheoretischer Bedeutung ist die D. von Mengen. Eine Menge M ist d. durch einen Prädikatausdruck P in einer Theorie T genau dann, wenn M die Menge aller Objekte x ist, für die P(x) in T beweisbar ist. Zu den zahlreichen Ergebnissen über arithmetische D. zählt das sog. Undefinierbarkeitstheorem arithmetischer Wahrheit von Tarski, welches besagt, dass die Menge der wahren Aussagen der elementaren Arithmetik nicht arithmetisch, d.h. in der Arithmetik d. ist.
UM
LIT:
- J. Shoenfield: Mathematical Logic. Reading, Mass. 1967.