Äquivalenz

(Gleichwertigkeit). In der Logik unterscheidet man insbesondere (1) deduktive oder logische Ä., die die wechselseitige Abbleitbarkeit von Aussagen bedeutet, (2) materiale Ä., die bei Gleichheit des Wahrheitswertes vorliegt und (3) strikte Ä., die in der notwendigen Gleichheit des Wahrheitswertes besteht. Häufig wird die materiale Ä. mit der als Bikonditional bezeichneten Wahrheitsfunktion bzw. mit dem aussagenlogischen Junktor, der diese Wahrheitsfunktion bezeichnet, gleichgesetzt. Genaugenommen ist die materiale Ä. jedoch eine Relation zwischen Aussagen und kann somit als die metasprachliche Entsprechung des Bikonditionals verstanden werden. Die von C. I. Lewis eingeführte strikte Ä. war intendiert als die objektsprachliche Umsetzung der deduktiven Ä., die, wie Lewis erkannte, durch die materiale Ä. nicht angemessen wiedergegeben werden kann. Jede der genannten Ä.en lässt sich verstehen als eine entsprechende wechselseitige Implikation. – In der Modelltheorie werden Modelle oder Strukturen als elementar äquivalent bezeichnet, wenn sie die gleiche Menge von Aussagen erfüllen, also nicht anhand der in ihnen wahren oder falschen Aussagen unterscheidbar sind. – In der Mengentheorie werden Mengen als äquivalent bezeichnet, wenn sie sich eineindeutig aufeinander abbilden lassen. Von Bedeutung sind ferner Äquivalenzrelationen, die definiert werden als reflexive, symmetrische und transitive Relationen. Die Menge der zu einem x in Äquivalenzrelation stehenden y wird als die Äquivalenzklasse von x bezeichnet. Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge M bestimmt eindeutig eine Zerlegung dieser Menge in paarweise disjunkte Teilmengen von M.

UM

LIT:

• I. Copi: Introduction to Logic. New York 61982.