Toán học [Đức: Mathematik; Anh: mathematics]
Xem thêm: Tất nhiên (tính), Châm ngôn, Cấu tạo, Bằng chứng, Trực quan,
Trong Tời dẫn nhập cho ấn bản 2 của cuốn PPTTTT, Kant cho rằng các nguồn gốc của Toán học là nằm ở “một cuộc cách mạng do ý tưởng đột ngột đầy may mắn của một con người duy nhất” (B 11). Ông định vị cuộc cách mạng ấy nơi hình học Hy Tạp, mà theo ông phương pháp của nó cốt yếu ở việc nhà hình học tạo ra “hình tam giác từ những gì tự ông nghĩ ra một cách tiên nghiệm dựa theo các khái niệm và diễn tả nó (bằng sự cấu tạo)” (B 12). Với điều này, Kant tuyên bố yêu sách gây tranh cãi của ông rằng Toán học có liên quan đến “các đối tượng và nhận thức trong chừng mực chúng được diễn tả trong trực quan” và đặc biệt là với một trực quan tiên nghiệm (A 4/B 8). Điều này mang đến một yêu sách xa hơn rằng nhận thức toán học không có tính phân tích, và qua đó được đặt nền tảng trên nguyên tắc mâu thuẫn, nhưng có tính tổng hợp một cách tiên nghiệm: “Những phán đoán toán học, nhìn chung, đều có tính tổng hợp” (B 14). Trong PPLTTT, Kant nỗ lực biện minh cho yêu sách này bằng sự quy chiếu đến số học, hình học và đại số học. Việc ông làm vậy bề ngoài có vẻ như để cắt nghĩa vấn đề tại sao nhận thức toán học có thể được áp dụng vào tự nhiên, nhưng thực sự là để phân biệt giữa những bằng chứng và trình tự thao tác của Toán học và Triết học.
Ví dụ về số học của Kant là mệnh đề “7 + 5 =12”, mà ông khăng khăng cho rằng nó không phải là một mệnh đề phân tích. Ông lập luận, số tổng 12 được rút ra từ “khái niệm về tổng của 7 và 5” “không chứa đựng điều gì khác hon là sự hợp nhất của hai con số này trong một con số duy nhất, nhưng qua đó hoàn toàn không hề được suy tưởng về con số duy nhất nào bao hàm cả hai con số kia” (PPLTTT B 15). Để khám phá ra con số 12 riêng biệt ấy, Kant cho rằng tất yếu phải “nhờ đến sự trợ giúp” của trực quan và phải kiến tạo con số 12 bằng việc thêm 5 đơn vị vào cho 7 đơn vị (chẳng hạn như nhờ vào các ngón tay). Sau này, trong “Các dự đoán của tri giác”, Kant chỉ rõ thao tác tổng hợp được tiến hành trong số học như một “sự tổng hợp của cái đồng tính (các đơn vị số)” hoặc một “công thức số” “tạo ra” một tổng duy nhất thông qua sự sử dụng chung về các con số (PPLTTT A 165/B 205). Ông phân biệt sản phẩm tổng hợp của một tổng trên phương diện số học với sản phẩm có liên quan đến sự trình bày trực quan về các tiên đề hình học. Chúng cũng có tính tổng hợp, như Kant đã chỉ ra qua những ví dụ về “đường thẳng giữa hai điểm là đường ngắn nhất”, a = a, và (a + b> a), vốn chỉ có thể được thừa nhận vì chúng có thể được trình bày trong trực quan (B 17). Những tiên đề ấy được rút ra từ những đặc điểm của trực quan thuần túy, tức trực quan có thể được trí tưởng tượng tác tạo vận dụng để kiến tạo những hình thể hình học, để chứng minh những bằng chứng hình học bằng những hình thể ấy. Không giống như một thao tác số học như phép cộng mà sự tổng hợp của nó mang lại một tổng duy nhất, những tiên đề của trực quan có thể được sử dụng để kiến tạo mọi góc có thể có. Cuối cùng, đại số học còn tiến hành bằng việc trình bày “các quan hệ khác nhau giữa những lượng, các cách tính toán - trong đó số lượng hoặc con số tăng hay giảm - được mang lại trong trực quan theo các quy tắc chung” (PPLTTT A717/B745). Với Kant, sự trình bày các đại lượng và các biểu trưng đại số là tương tự với sự cấu tạo một hình thể hình học, ông xem hình thức của một “sự cấu tạo một cách tượng trưng” là tương đồng với “sự cấu tạo bằng trực quan” của hình học.
Nỗ lực của Kant trong việc hạn chế những sự cấu tạo toán học vào những hình thức của trực quan con người mâu thuẫn với một số lập trường riêng thời kỳ đầu của ông, tức những lập trường chú ý đến khả thể của các hình học không bị giới hạn vào những ranh giới của không gian ba chiều. Bằng sự khái quát hóa khái niệm về sự cấu tạo trong một bản văn thời kỳ đầu như cuốn LS (§ 9), ông đã có thể dự báo về khả thể của các hình học được đặt cơ sở trên những tiên đề rất khác với những tiên đề Euclid. Trong THTN ông cũng quan tâm đến việc phân biệt bằng chứng toán học với bằng chứng triết học và sự xác tín. Điều này được thúc đẩy bởi việc ông muốn giữ khoảng cách triết học của mình với triết học của trường phái Wolff, tức triết học vay mượn thẩm quyền của bằng chứng toán học cho những chứng minh triết học. Kant đặt sự phân biệt của ông giữa triết học với toán học trên sự khác biệt về loại giữa tính chất suy lý, biện lý của cái trước, với tính chất trực quan, tiên đề hóa của cái sau. Nói theo từ ngữ trong PPLTTT, thì nhận thức triết học “là nhận thức của lý tính từ những khái niệm”, trong khi nhận thức toán học “là từ việc cấu tạo những khái niệm” (A 713/B 741); cái trước “chỉ xem xét cái đặc thù trong cái phổ biến”, cái sau xem xét “cái phổ biến trong cái đặc thù” (A 714/B 742). Không phải không hợp lý khi nói rằng chính nỗ lực của Kant trong việc duy trì sự phân biệt giữa lập luận toán học với lập luận triết học đã dẫn ông đến việc nhấn mạnh tính chất trực quan, tổng hợp của toán học, thậm chí đối mặt với một số những thức nhận trái ngược của riêng ông trong thời kỳ đầu.
Hoàng Phú Phương dịch