Axiom,Axiomensystem
Für Aristoteles sind A.e allgemeine Sätze, die aus sich selbst einsichtig, d.h. eines Beweises weder bedürftig noch fähig sind. In einer wissenschaftlichen Theorie stellen die A.e die methodisch ersten Sätze dar, die innerhalb dieser Wissenschaft nicht bewiesen werden können, aus denen sich aber in einer deduktiv aufgebauten Wissenschaft weitere Sätze ableiten lassen. In der modernen formalen Logik gelten die nicht abgeleiteten Sätze als GrundSätze oder A.e, bei der Auswahl der Grund-Zeichen und Grund-Sätze des Systems herrscht eine gewisse Freiheit. Für die Auswahl gilt der pragmatische Gesichtspunkt der relativ guten Arbeitsmöglichkeit, die ein Axiomensystem für bestimmte Vorhaben bietet. Die Wahlfreiheit wird durch vier Forderungen an ein Axiomensystem begrenzt, wobei die ersten drei Forderungen strikt erfüllt sein müssen, die vierte je nach dem verfolgten Zweck in bestimmter Richtung möglichst weit erfüllt sein soll: (1) Die einzelnen A.e eines Systems müssen voneinander unabhängig sein, d.h. kein A. darf sich mittels einer Ableitungsregel des Systems aus den anderen A.en herleiten lassen. (2) Das Axiomensystem muss widerspruchsfrei sein, d.h. es darf aus den A.en des Systems mittels der Ableitungsregel des Systems nicht gleichzeitig eine Aussage und deren Negation herleitbar sein und es darf nicht jede beliebige Aussage herleitbar sein. (3) Es muss vollständig sein, d.h. vollständig im weiteren Sinn ist es, wenn sich alle wahren Aussagen des betreffenden Bereichs darin herleiten lassen, vollständig im strengen Sinn ist es, wenn jede Aussage, die kein Gesetz ist, zusammen mit den A.en einen Widerspruch herzuleiten gestattet (Ein Gesetz des Systems ist gegeben, wenn sich eine Aussage mittels der Ableitungsregel des Systems aus den A.en herleiten lässt). (4) Das Axiomensystem soll möglichst einfach sein, d.h. es soll möglichst wenige Grundzeichen und A.e (und möglichst kurze) enthalten und die A.e sollen charakteristische Eigenschaften der darin jeweils auftretenden Funktoren angeben, so dass durch Weglassung bestimmter A.e sich bestimmte Teilsysteme bilden lassen. – Der ursprünglich mit dem Grundlegungscharakter verbundene Anspruch der unmittelbaren Evidenz wurde seit dem axiomatischen System des Mathematikers D. Hilbert (1899) durch die Forderung der Konsistenz und Widerspruchsfreiheit des Axiomensystems ersetzt.
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LIT:
- A. Menne: Einfhrung in die formale Logik. Darmstadt 21991. S. 50 ff.