das Unendliche,Unendlichkeit

infinity

das Unendliche, Unendlichkeit

Vô hạn/Vô tận (sự, tính) [Đức: Unendlichkeit; Anh: infinity]

Trong tiếng Đức, Unendlichkeit (tính vô hạn/vô tận) và unendlich (vô hạn/vô tận), có nghĩa là thiếu vắng một kết thúc (Ende) hay RANH GIỚI, và tưong phản với Endlichkeit (tính HỮU HẠN) và endlich (hữu hạn). Chữ tư ổng đưong trong tiếng Hy Lạp, to apeiron, lần đầu tiên được Anaximander sử dụng để biểu thị chất liệu Cổ bản mà vạn vật đều có và có nghĩa là “bất định, bất xác” hon là “vô tận trong không gian hay thời gian”. Các nhà nguyên tử luận, Leucippus và Democritus, xem các nguyên tử là vô hạn về số lượng, và đặt chúng vào một không gian và thời gian vô tận. Nhưng nói chung, apeiron được xem là không thể hiểu được về mặt trí tuệ và có nghĩa xấu về mặt đánh giá: các nhà Pythagoras bắt đầu bảng các ĐỐI LẬP của họ bằng cái có giới hạn và cái không-giới hạn, tưong ứng với cái tốt và cái xấu. Ở đây, cái “không-giới hạn” vẫn còn mang nghĩa “bất xác”, “bất định” và “vô hạn”, và nghĩa này cũng bền bỉ trong đối thoại Philebus của Plato, trong đó ranh giới (peras) và cái vô-giới hạn được xem là hai nguyên tắc của tồn tại, được chi phối bởi lý tính vũ trụ vốn hòa trộn chúng lại với nhau trong vạn vật. Aristoteles, nhờ ông mà chữ apeiron dứt khoát có nghĩa là “vô hạn”, đã thử nhìn vũ trụ như hữu tận cả về thời gian lẫn không gian. Khi dường như không thể tránh được tính vô tận, ông cho rằng nó chỉ là tính vô tận tiềm năng đon thuần chứ không phải tính vô tận HIỆN THựC: chẳng hạn, một đường thẳng có thể được phân chia vô hạn, nhưng nó không chứa đựng, và không thể được phân chia thành một tính vô hạn hiện thực của các điểm được. Một vũ trụ có trật tự được cảm nhận là loại trừ tính vô hạn tồi.

Các vị thần Hy Lạp cổ đại, do đó, không phải là vô hạn. Tuy nhiên, Philo xứ Alexandria (người đã kết hợp thuyết Plato với Do Thái giáo) xem Thượng Đế là vô hạn, không theo nghĩa là mở rộng vô tận trong không gian và thời gian, mà theo nghĩa là chứa đựng tất cả những gì có thể xuất hiện trong không gian và thời gian trong một hình thức tập trung. Vì thế, cái vô hạn không còn là khiếm khuyết nữa mà là hoàn bị và hoàn hảo. Các triết gia Kitô giáo Sổ kỳ và trung kỳ duy trì ý niệm Hy Lạp rằng thế giới là hữu hạn nhưng đảo ngược sự đánh giá về nó: thế giới hữu hạn là một sản phẩm bất toàn của một Thượng Đế vô hạn.

Quan niệm rằng thế giới chỉ là hữu hạn đã bị thách thức theo hai hướng. Thứ nhất, các nhà huyền học như Eckhart cho rằng vì linh hồn con người rút ra bản chất của mình từ Thượng Đế và tìm kiếm sự hợp nhất với Ngài, nên nó không thể là cái hữu hạn tồi được. Thứ hai, Nicolas xứ Cusa [Nicholas von Kües] (đáng ngạc nhiên là Hegel không bao giờ nhắc đến ông này) cho rằng, vì thế giới mở rộng minh nhiên trong không gian và thời gian những gì vốn mặc nhiên được tập trung trong Thượng Đế, nên nó cũng phải là vô hạn trong không gian và thời gian. Học thuyết này đã được Copernicus và Giordano Bruno phát triển. Kant cũng bị quyến rũ bởi ý niệm rằng quyền năng vô hạn của Thượng Đế được thể hiện trong sự PHÁT TRIỂN vô hạn của sự sáng tạo của Ngài.

Sau khi Newton và Leibniz phát hiện ra phép tính vi phân, các nhà toán học đã nỗ lực đưa ra một nghiên cứu mạch lạc về cái nhỏ vô hạn cũng như cái lớn vô hạn. Chủ đề này (một chủ đề mà Hegel đã dành một mục dài trong KHLG) vẫn chưa được giải quyết thời ông, nhưng các nhà toán học có xu hướng đến gần với quan niệm của Aristoteles rằng cái nhỏ vô hạn chỉ là tiềm năng đon thuần; tức là các đường thẳng, v.v. có thể bẻ nhỏ tùy ý thích của ta, nhưng không có đường thẳng hiện thực nhỏ vô hạn nào hết. Cái lớn vô hạn cũng được cảm nhận một cách nghịch lý: nó ngang bằng về kích cỡ hay về số lượng đối với một bộ phận riêng của nó, chẳng hạn chuỗi 2, 4, 6, 8... cũng có nhiều hạn từ như chuỗi 1, 2, 3, 4, ... Nhưng không gian và thời gian, cũng như các con số, dường như đòi hỏi một cái lớn vô hạn hiện thực chứ không phải đơn thuần tiềm năng.

Schelling và Hegel nhìn thấy hai vấn đề chính trong tính vô hạn. Một là, nếu cái vô hạn là tách biệt với cái hữu hạn, thì nó bị giới hạn bởi cái hữu hạn và vì thế cũng là hữu hạn chứ không phải vô hạn. Nếu, chẳng hạn THƯỢNG ĐẾ là tách biệt với thế giới, thì Ngài là hữu hạn. Do đó, giống như Fichte, hai ông đều cho rằng cái vô hạn thì không tách biệt với cái hữu hạn nhưng chứa đựng cái hữu hạn như một phương diện hay một MÔ-MEN của mình. Hai là, một sự quy thoái vô hạn hay quy tiến vô hạn là xấu, không nhất quán về mặt trí tuệ và tự-chuốc lấy thất bại về mặt thực hành. (Schelling minh họa tính vô hạn tồi bằng khoản nợ quốc gia của nước Anh, các món nợ cũ được chi trả bằng các món nợ mới một cách vô tận). Vì thế hai ông chống lại ý niệm của Kant và Fichte rằng nhân loại có một mục đích để PHẢI nỗ lực hướng đến, nhưng sẽ không đạt được trong một thời gian hữu hạn. Schelling và Hegel, nói chung, không phân biệt giữa một chuỗi có xu hướng đi đến một giới hạn (như chuỗi của Kant, và chẳng hạn chuỗi 1 + 1/2+1/4+1/8...) với chuỗi không có xu hướng ấy (chẳng hạn 1 +1 +1 +1+.... hay l-l + l-l + l-...).

Hai vấn đề này là riêng biệt nhau: tính vô hạn của Thượng Đế không nằm ở một sự quy thoái vô hạn, cho dù các nhà thần học duy lý lập luận, chẳng hạn, rằng Ngài có quyền năng ở mức độ vô hạn và có thể tạo ra các suy luận về độ dài vô hạn. Ngược lại, một chuỗi vô hạn chứa đựng các hạn từ hữu hạn của nó và không tách biệt rạch ròi với chúng. Nhưng trong cả hai trường hợp, Hegel nghĩ, cái vô hạn không phải là vô hạn đúng thật: khi đi theo một chuỗi vô hạn, ta chỉ có thể đạt đến một mảnh hữu hạn của nó mà thôi, chứ không bao giờ đạt đến bản thân sự vô hạn. (Người ta cũng có thể lập luận rằng một thần tính tách biệt với sự sáng tạo của Ngài, do đó Ngài là hữu hạn, và đòi hỏi một thần tính cao hơn nữa để giải thích sự hiện hữu của Ngài, và cứ thế đến vô tận).

Spinoza đã phân biệt tính vô hạn (vô tận) của trí tưởng tượng với tính vô hạn (tự-khép kín) của trí năng. Hegel cũng phân biệt tính vô hạn tồi (schlecht/Anh: bad) của GIÁC TÍNH với tính vô hạn ĐÚNG THẬT (wahre; Anh: true) của LÝ TÍNH, vốn chứa đựng cái hữu hạn, chứ không phải tương phản với nó, và không tiếp tục mãi mãi. Cái vô hạn tồi được hình dung bằng một đường thẳng, mở rộng vô hạn ở cả hai đầu, còn cái vô hạn đúng thật được hình dung bằng một vòng tròn, mà ta có thể nói là “hữu hạn nhưng không bị giới hạn”. Ông áp dụng ý niệm này cho mọi cấu trúc vòng tròn hay hỗ tương có tính tự túc tương đối, đối lập lại với một sự tiến lên vô tận từ cái này đến cái khác: chẳng hạn, ba SUY LUẬN chống đỡ cho nhau tương phản với một chuỗi vô hạn tồi của các suy luận; sự tác động qua lại của NGUYÊN NHÂN và kết quả tương phản với một chuỗi vô hạn các nguyên nhân và kết quả; TINH THẦN hay Tự-Ý THỨC không bị giới hạn bởi cái khác của nó, mà ở trong nhà với mình (bei sich) trong chính mình. Cũng thế đối với bản thân Lô-gíc học, trong đó tư tưởng cũng có chính nó như là đối tượng của nó và không phụ thuộc vào một cái khác giới hạn nó. Tính vô hạn/vô tận đúng thật thường được gắn liền với sự PHỦ ĐỊNH của phủ định: cái hữu hạn là cái phủ định, rồi đến lượt nó lại được phủ định để tạo thành cái khẳng định.

Tính vô hạn đúng thật chủ yếu được áp dụng cho vũ trụ xét như toàn bộ: Thượng Đế không thể tách biệt với thế giới, vì nếu thế hẳn sẽ có hai thực thể hữu hạn, vốn không thể tự-duy trì hay tự-giải thích được. Cũng như vậy, thế giới không thể mãi mãi đi tới và đi lui được: nó phải có một hình thức vòng tròn tự túc. Một lần nữa, tư tưởng về thế giới không thể tách biệt với thế giới, vì nếu không thì tư tưởng và tồn tại hẳn sẽ giới hạn lẫn nhau và là hai thực thể hữu hạn, không tự chống đỡ cho chính mình được. Do đó, tư tưởng là đồng nhất (nhưng cũng khác biệt) với thế giới, và nó cũng mang tính vòng tròn. KHÁI NIỆM do đó cũng vô hạn như thế giới. Tính vô hạn/vô tận đúng thật giải thích cho một số đặc điểm của hệ thống Hegel: chẳng hạn, tại sao Thượng Đế phải là cấu trúc lô-gíc của thế giới, và tại sao các hình thức tư tưởng, chẳng hạn suy luận, phải được thể hiện ở ngay trong thế giới.

Hegel cố gắng khôi phục, trên một bình diện cao hơn, thế giới hữu hạn tự-khép kín của Aristoteles, tương phản với thế giới mở ngỏ của Khai minh và của khoa học Newton, vốn nặng trĩu với những đối lập giữa tự ngã, Thượng Đế, và thế giới, và vô số tính vô hạn không thể tiêu hóa được.

Nhưng những tính vô hạn ấy khó mà loại bỏ: Hegel ngụ ý rằng KHÔNG GIAN và THỜI GIAN là các vô hạn (tồi). Ông không gợi ý, như lẽ ra ông phải làm, rằng không gian là có tính vòng tròn, khiến cho sự vận động theo một đường thẳng rốt cục sẽ quay trở lại điểm xuất phát. Khác với Nietzsche, ông cũng không hồi sinh ý niệm của Pythagoras rằng thời gian là có tính vòng tròn, chứa đựng sự quy hồi vĩnh cửu của những sự kiện hoàn toàn giống nhau, hay thậm chí giống nhau cả về số lượng. Quy hồi vĩnh cửu ắt sẽ xung đột với niềm tin của Hegel rằng LỊCH sử hướng đến một mục tiêu, nhưng việc ông làm ngổ sự quy hồi ấy sẽ dẫn ông đến chỗ dao động nước đôi giữa quan niệm rằng lịch sử đã và đang đi đến một kết thúc với quan niệm rằng nó đang đi đến cái vô tận (tồi), cho dù ta không thể biết nó sẽ tiếp tục như thế nào và phải tự giới hạn mình vào tính vô tận đúng thật của hiện tại mà thôi.

Hoàng Phú Phương dịch

Vô tận/Vô hạn (cái, tính) [Đức: Unendlichkeit; Anh: infinity]

Xem thêm: Nghịch lý (các), Bất tử (sự), Toán học, Thời gian, Thế giới,

Các nghịch lý sinh ra bởi những nỗ lực muốn nhận thức về tính vô tận đã tỏ ra là một vấn đề vĩnh cửu đối với các triết gia kể từ những tư biện thời Hy Lạp cổ đại như Anaximander, Parmenides, và Zeno. A.M. Moore (1990) đã giúp phân biệt giữa tính vô tận toán học và tính vô tận siêu hình học, và đã cho thấy các nghịch lý về cái lớn vô hạn, cái nhỏ vô hạn, và nghịch lý về cái Một và cái Nhiều, nảy sinh như thế nào từ sự áp dụng tính khả phân và tính lặp lại vô tận của chuỗi số toán học vào không gian và thời gian. Những nghịch lý này, vốn đã được Zeno đã phát biểu một cách kinh điển (Barnes, 1987, tr. 150-8), đã bị Aristoteles phê phán. Aristoteles đã tìm cách tái xác định việc tư duy về cái vô tận bằng sự phân biệt giữa tiềm năng và hiện thực. Một cái vô tận hiện thực nhất định phải tồn tại trong thời gian, còn một cái vô tận tiềm năng thì vượt khỏi thời gian; tuy nhiên cái vô tận hiện thực đòi hỏi phải đi xuyên qua cái vô tận trong thời gian, điều này mâu thuẫn với khái niệm nguyên thủy về cái vô tận (xem Moore, 1990, tr. 40).

Câu trả lời của Kant cho những vấn đề tư biện về cái lớn vô hạn và cái nhỏ vô hạn trong hai Nghịch lý “vũ trụ học” đầu tiên của PPLTTT với cùng một chiến lược lập luận. Cái lớn vô hạn hay nhỏ vô hạn không thể là đối tượng của kinh nghiệm mà là những ảo tượng được tạo ra bởi những suy luận biện chứng của lý tính. Trong nghịch lý đầu tiên, Kant đối lập chính đề là thế giới có một khởi đầu trong thời gian và bị giới hạn trong không gian đối lập với phản đề là nó không có khởi đầu và không có ranh giới trong không gian mà vô tận về thời gian lẫn không gian (PPLTTT A 426/B 454). Nghịch lý thứ hai liên quan đến tính khả phân vô tận của bản thể thế giới, trong đó chính đề khẳng định rằng các bản thể đa hợp bao gồm những đơn tố và chỉ có chúng mới có thể tồn tại, trái lại phản đề thì cho rằng không có sự vật đa hợp nào được cấu tạo từ những đơn tố, và không tồn tại bất kỳ đơn tố nào hết (A 434/b 462). Kant không tán thành cả hai lập trường, nhưng dùng chúng để trình bày những hệ luận biện chứng được khơi ra từ việc lý tính muốn suy luận ra những hệ luận vô-điều kiện, tuyệt đối từ những tiên đề vốn bị quy định bởi giác tính hữu hạn của con người.

Trong khi triết học lý thuyết phải thừa nhận tính cách biện chứng của việc áp dụng cái vô tận toán học vào tự nhiên, Kant nhấn mạnh rằng tính vô hạn siêu-hình học dưới lớp vỏ của tính bất tử mặc nhiên được thừa nhận như một định đề của lý tính thuần túy thực hành. Trong câu kết luận nổi tiếng đặt trong dấu ngoặc kép của PPLTTH, “bầu trời đầy sao trên đầu tôi và quy luật luân lý ở trong tôi”, Kant đối lập tính vô tận của vũ trụ mà “một sự đa tạp của hằng hà đa số thế giới hầu như thủ tiêu tầm quan trọng của riêng tôi, xét như một sinh vật thụ tạo” với tính vô tận của nhân cách đã được quy luật luân lý khai mở để từ đó có thể được suy ra “một vận mệnh không bị giới ước theo những điều kiện và những ranh giới của cuộc sống hiện tại, mà kéo dài đến vô tận” (tr. 162. tr. 166). Vì thế, trong một hình thức đối lập biện chứng, sự bất lực của lý tính lý thuyết trong việc lĩnh hội cái vô tận được đối lại bởi những gợi ý của quy luật luân lý về sự bất tử.

Những phản tư của Kant về cái vô tận là cực kỳ có tính phê phán đối với sự phát triển của thuyết duy tâm siêu nghiệm. Fichte, Schelling và trên hết là Hegel đã tìm kiếm các phương thức để “tư duy về cái tuyệt đối” hoặc hoàn trả cái vô tận cho triết học lý thuyết. Đối với Hegel (1812, 1830), Kant đã phát triển một “cái vô hạn tồi” trong cả nghiên cứu lý thuyết lẫn thực hành về khái niệm này. Những tính vô tận bị phê phán trong PPLTTT là những “cái vô hạn tồi” của cấp số toán học vô tận tăng dần lên đến cái lớn vô hạn và giảm dần xuống cái nhỏ vô hạn. Cũng như thế, tính vô tận được định đề hóa trong triết học thực hành là một tính vô tận đã biến luân lý thành một “nhiệm vụ vô tận”, tức cái gì đó cần phải phấn đấu đến vĩnh viễn. Thay thế cho những quan điểm này về tính vô tận, Hegel đưa ra một tính vô tận hiện thực giống với tính vô tận của Aristoteles, tức một tính vô tận trong đó cái vô tận không được xem đơn giản như sự phủ định của cái hữu tận mà như được hiện thực hóa bên trong nó, và ở đó đời sống đạo đức (Sittlichkeit/ethical life) (đối lập với “luân lý” (Moralität/ morality) của Kant) có thể được hiện thực hóa bên trong đời sống này mà không đòi hỏi phải có nhiệm vụ bất tận vốn bao hàm trong định đề về tính bất tử.

Thánh Pháp dịch

Unendlichkeit

infinité

Unendlichkeit

Unendlichkeit

infinitude

Unendlichkeit

endlos,unendlich,Unendlichkeit

infini

endlos, unendlich, Unendlichkeit

Unendlichkeit /f =/

tính] vô cùng, vô tận; không gian vô hạn; [sự] mênh mang, mênh mông, bát ngát.

Unendlichkeit /f/TOÁN/

[EN] infinity (tính)

[VI] vô cực, vô hạn, vô tận

Unendlichkeit

(griech. apeiron, lat. infinitum). Das mathemathische Phänomen der endlosen Erweiterbarkeit von Zahlenwerten und Zahlenmengen wird bereits in der vorsokratischen Philosophie im Begriff des Apeiron (Unbegrenztes) als oberstes Seinsprinzip, besonders jedoch als Grundbestimmung der physischen Welt und ihrer Gegenstände diskutiert, bevor es durch Platon in einer v.a. terminologischen Übernahme der pythagoreischen Tradition in seiner Entgegensetzung zur Grenze (peras) in epistemologischer Hinsicht fruchtbar gemacht wird. Hier ist es die unüberschaubare, widersprüchliche und so nicht rationalisierbare Vielzahl der äußeren Bestimmungen (Relationen und Aspekte) eines auf die Weise der Doxa erfassten Gegenstandes, der sich so vollständig auf seine unterschiedlichen Erscheinungsweisen reduziert (Philebos 14c1-e4). Erst durch den Prozess der Hinzufügung der durch das peras bezeichneten wesentlichen Verhältnis- und Maßbestimmungen kann der Gegenstand als ein Gemischtes aus beidem über seinen durch einen logos aufgezeigten Ort innerhalb eines techne-Bezugsrahmens verstanden werden (vgl. ebd. 23c1–26e9). – Aristoteles definiert das Unendliche als ein nicht in diskursiver Weise abschließend Erfassbares (Physik 204a14) und negiert so die Existenz eines »aktual« unendlichen Gegenstandes als diskreter Größe oder Menge sowohl in sinnlicher als auch in nicht-sinnlicher Hinsicht (III, 3). U. kann vielmehr nur als eine »mögliche« gedacht werden (ebd. 203b24; 207b10 f.), d.h. als die allein durch gedankliche Operationen vollziehbare, potentiell endlose Wiederholung oder Aneinanderreihung bisweilen unterschiedlicher endlicher Glieder – etwa bei der Teilung des Kontinuums oder der stetigen Erweiterung der Zahlenreihe. Unendliche Gegenstände sind für Aristoteles einerseits die Bewegung als Prinzip der physikalischen Welt, die – obgleich nicht in sinnlicher Hinsicht unendlich – ebenso unvergänglich ist wie die Zeit (ebd. 207b22–25), zum anderen das Denken als Ort und Instanz der Konstruktion der U. (208a15–16). – Im Neuplatonismus wird in der Nachfolge Philons v. Alexandria durch Plotin der Begriff der U. um diejenige Gottes, des in seiner Vollkommenheit von aller Vielheit freien Einen bzw. Guten, der als absolute Potentialität die Hervorbringung aller Dinge leistet, erweitert (vgl. Enneaden II, 4, 15, 19–20; V 5, 10, 18–25). – Hegel, ähnlich Schelling (Sämtl. Werke IV S. 381 ff.), unterscheidet drei logische Formen der U.: Sie erscheint zunächst im Rahmen der einfachen »affirmativen« Bestimmung der Selbst-Identität des Endlichen als dessen bloße Negation. Sodann bezeichnet sie als »schlechte U.« das dem Verstandesdenken verhaftete, sich allein im abgrenzenden Gegensatz zum Endlichen befindliche und deshalb selbst begrenzte »verendlichte Unendliche«. Erst in der darüber hinaus zu vollziehenden höheren, d.h. konkret affirmativen Bestimmung der Realität des Endlichen, die beide Pole dynamisch im Enthalten des je anderen ihrer selbst erfasst bzw. aufhebt, erweist sich die U. als »wahrhaft Unendliches« (Hegel, Logik (1832), Hamburg 1990. S. 111 ff.).

MDB

LIT:

• E.E. Benitez: Forms in Platos Philebus. Assen, Maastricht 1989
• H. Buchner. Plotins Mglichkeitslehre. Mnchen/Salzburg 1970
• P. Stekeler-Weithofer: Hegels Analytische Philosophie. Paderborn u. a. 1992
• W. Wieland: Die aristotelische Physik. Gttingen 1962.