Logik
benennt die Grundlagen gedanklicher Ordnung. Als formale L. thematisiert sie die logischen Beziehungen innerhalb eines symbolischen Darstellungssystems. Um auszudrücken, dass sie nur Gesetze innerhalb der Symbolik aufstellt und keinerlei Aussagen über Grundgesetze des Seins, über tatsächliche Beziehungen innerhalb der Wirklichkeit macht oder Gesetze der Erfahrungswelt formuliert, spricht man von reiner L. Als Vernunftlehre tritt die L. in zweifacher Hinsicht auf: Zum einen thematisiert sie die subjektive Fähigkeit des Denkens, die normativen Denkregeln und Denkgesetze, zum anderen die objektiven Verstandesgebilde, die allgemein verbindlichen Bedeutungsbeziehungen. Beide Aspekte werden in unterschiedlicher Gewichtung zum Forschungsthema der L.: (1) In der Antike (Platon und Aristoteles) befasst sich die L. unter dem Namen »Dialektik« mit der Analyse und Synthese von Begriffen und mit den zur Argumentationskunst zählenden Formen und Regeln gültiger Schlussfolgerungen (Syllogismus, Logik, formale). – (2) Mit Leibniz wird das Verständnis der L. auf jede Art formgerechten Beweisgangs, auf jede Vernunftüberlegung, die kraft ihrer Form Schlüsse zieht und bei der man kein Beweisstück zu ergänzen braucht, ausgeweitet. – (3) Die Logik von Port-Royal differenziert in Elementarlehre: Lehre vom Begriff, vom Urteil, vom Schließen, und in Methodenlehre: Methoden begründeter Erkenntnis, d.h. die kunstgerechte Behandlung der Elementarlehre zur Erzeugung einer systematischen Wissenschaft. Die Wissenschaftslehre behandelt den Inbegriff derjenigen Regeln, nach denen wir in den Einzelwissenschaften vorzugehen haben. – (4) Die in entwickelter Form von Frege inaugurierte moderne L. trägt dem Umstand Rechnung, dass das für die traditionelle L. vorherrschende Urteilsschema (einem Subjekt wird ein Prädikat zugesprochen) zwar für Eigenschaften und für Klassen geeignet ist, aber nicht eine angemessene Darstellung von Beziehungen, die in der Verknüpfung von zwei oder mehreren Gliedern bestehen, ermöglicht. Durch die Einführung einer Symbolik wird eine Form der Darstellung geschaffen, durch welche Begriffe und Aussagen und die Regeln ihrer Verknüpfung präzise festgelegt werden: (a) Frege zeigte, dass eine logische Kunstsprache (Künstliche Sprache) möglich ist, in der alle logisch relevanten Formen von Sätzen eindeutig ausgedrückt werden können. Dabei beschränkte er sich auf die Grundsymbole der Negation (eines Satzes), das Wenn-dann-Verhältnis (Implikation) zweier Aussagen sowie auf ein Zeichen für Allgemeingültigkeit eines Ausdrucks der Form ›x ist ein F‹, wobei x eine Variable für Gegenstände und F eine Variable für Prädikate ist. (b) Er leistete eine Klärung der logischen Zusammenhänge im Bereich der elementaren Prädikation, indem er zum einen auf die grundlegenden Unterschiede zwischen Merkmalen und Eigenschaften hinwies: die Merkmale von Begriffen sind Eigenschaften von Gegenständen, die Eigenschaften Merkmale möglicher Begriffe, und indem er zum anderen zwischen Begriffen erster und zweiter Stufe differenzierte: dem Fallen eines Gegenstandes unter einen Begriff, die Unterordnung von Begriffen unter andere Begriffe, die Einordnung eines Begriffs unter einen Begriff zweiter Stufe. (c) Ihm ist die Grundlegung einer philosophischen Semantik zuzuschreiben: Neben dem Zeichen (dem sprachlichen Ausdruck) und der gemeinten Sache (dem Gegenstand) führt er als notwendigen dritten Bestandteil den Sinn eines solchen Ausdrucks ein. Den Sinn definiert er als die Gegebenheitsweise des Gegenstandes, die Bedeutung als den Bezugsgegenstand (Referenz). Die Bestimmung der Bedeutung und des Sinnes von ganzen Sätzen führt zur Bestimmung von Wahrheitswerten. Die Bedeutung eines Satzes muss nach Frege dasjenige sein, das sich nicht verändert, wenn wir beliebige Teilausdrücke ersetzen. Es lässt sich zeigen, dass bei solchen Veränderungen der Wahrheitswert erhalten bleibt. Die damit verbundene Analyse des Begriffs weist diesen als eine Funktion aus, deren Wert für jedes Argument ein Wahrheitswert ist. Begriffe sind Funktionen besonderen Typs, folglich keine selbständigen Gegenstände, sondern ungesättigte Entitäten, die ihre natürliche Erfüllung erfahren, wenn sie von Gegenständen prädiziert werden. (d) In dem Logikkalkül werden die logischen Folgerungen, wie sie von der traditionellen formalen L. untersucht wurden, auf rein formale Weise, d.h. ohne Rückgriff auf die Bedeutung der sprachlichen Ausdrücke, durch schematische Regeln aus einfachen logischen Folgerungen der Reihe nach hergestellt. Die von ihm geleistete vollständige Kalkülisierung lieferte eine L. in Gestalt eines Satzkalküls, weil logisch wahre Aussageschemata aus gewissen einfachen, logisch wahren Aussageschemata erzeugt werden. Ihren Niederschlag findet diese Form der L. in der Aussagenlogik und Prädikatenlogik. Im Anschluss an und aus der Kritik an Frege entwickelte Russell seine Typenlogik. – (5) Die von Kant in Abgrenzung zur formalen L. eingeführte transzendentale L. zielt darauf ab, die Begriffe von »Gegenständen überhaupt« als Bedingungen möglicher Erkenntnis auszuweisen, wobei diese Begriffe nicht auf empirischem Wege gewonnen werden können, da sie immer schon für jede Erfahrung in Anschlag zu bringen sind. – (6) Hinsichtlich der Darstellungsformen, Begründungsweisen und spezifischen Teilbereiche entwickelt sich die moderne L. in eine Vielzahl unterschiedlicher Positionen: (a) Neben der axiomatischen Darstellung Freges besteht in der dialogischen L. ein von P. Lorenzen erarbeitetes Begründungsverfahren, das anstelle der dem semantischen Aufbau der L. zugrundeliegenden Charakterisierung nach »wahr-falsch« und anstelle des syntaktischen Aufbaus mit Hilfe von Logikkalkülen einen pragmatischen Aufbau vorsieht, nämlich die Charakterisierung der Aussagen durch ein endliches, in entscheidbaren Schritten verlaufendes Argumentationsverfahren. (b) Bezüglich der logischen Gesetze bringt die intuitionistische L. bzw. die konstruktive L. eine Kritik an der Zweiwertigkeit »wahr-falsch« und an der Allgemeingültigkeit des »tertium-non-datur«-Prinzips an. Dem setzt sie den Grundgedanken entgegen, der Beweis sollte grundsätzlich durch gedankliche Konstruktionen erbracht werden. (c) Hinsichtlich der Ausdrucksmittel werden spezifische L.en entwickelt: die Einbeziehung der Modalitäten führt zu einer Modallogik, die Einbeziehung zeitlicher Indikatoren zu einer temporalen L., in der die Wahrheitswerte von Propositionen in ihrer Abhängigkeit von Zeiten behandelt werden, die Einbeziehung der Sollensoperatoren zur deontischen L., die Einführung von Gebrauchskontexten zur topologischen L., die die Wahrheitswerte von Sätzen in Abhängigkeit von Gebrauchskontexten bestimmt. (d) Hinsichtlich der epistemischen Kontexte unterzieht die epistemische L. die Begriffe des Wissens und Glaubens einer logischen Analyse. (e) In Bezug auf die induktiven Schlüsse (Induktion) und den Bewährungsgrad von Hypothesen widmet die induktive L. dem Problem ihre Aufmerksamkeit, dass bei induktiven Argumenten der Inhalt der Konklusion nicht vollständig in dem der Prämisse enthalten ist, sondern unser Wissen vom Einzelfall aus auf eine generelle Hypothese hin erweitert wird. Carnap (Wiener Kreis) erörtert dazu Bestätigungsmethoden und Adäquatheitskriterien.
PP
LIT:
- G. Frege: Logische Untersuchungen. Gttingen 1966
- Ders.: Funktion, Begriff, Bedeutung. Gttingen 31969
- F. v. Kutschera: Elementare Logik. Wien 1967
- G. Patzig: Die Aristotelische Syllogistik. Gttingen 21969
- W. V. O. Quine: Grundzge der Logik. Frankfurt 1974
- S. Rosenkranz: Einfhrung in die Logik. Stuttgart/Weimar 2006.
Logik,formale
Theorie der logischen Verbindung und logischen Folgerung von Aussagen. (I) Die traditionelle f. L. stellt die in der Syllogistik behandelten speziellen Aussageverknüpfungen in den Vordergrund. Ein Syllogismus ist ein Schluss von zwei Prädikataussagen auf eine dritte: (1) Alle M sind G, (2) alle K sind M, (3) Konklusion: Also sind alle K auch G. Die Prämissen und der Schlusssatz enthalten insgesamt drei Prädikate: der Term, der im Schlusssatz das Prädikat darstellt (G), wird als ›maior‹ und der ihn einführende Satz als ›Obersatz‹ bezeichnet, der Term, der im Schlusssatz das Subjekt darstellt, wird als ›minor‹, und der ihn einführende Satz als ›Untersatz‹ bezeichnet. Zur Gültigkeit der Schlussformen werden fünf Regeln angeführt: (1) Es dürfen nur drei verschiedene Terme vorkommen, wobei der Mittelterm nicht in der Konklusion auftreten darf; (2) der vermittelnde Term muss in beiden Prämissen denselben Inhalt haben und mindestens in einer Prämisse universell (bejahend oder verneinend) sein; (3) zwei affirmative Prämissen können keinen negativen Schluss ergeben; (4) wenn eine Prämisse negativ ist, dann auch der Schlusssatz; (5) aus zwei negativen Prämissen ergibt sich kein gültiger Schluss.
(II) Diese inhaltlich verstandenen Schlussregeln der Logik wurden beginnend mit Leibniz und in entwickelter Form bei Frege nach Art der Rechenregeln der Arithmetik formalisiert und in Logikkalküle gefasst. Die moderne f. L. reduziert die inhaltlichen Aussagen auf Aussageschemata, also nur auf den schematischen Aufbau ohne Bezug auf die Bedeutung der Aussage. Damit geht die Symbolisierung der Aussageschemata und der als logischen Partikel verwendeten Zeichen einher. In der Aussagenlogik werden mit Hilfe von Wahrheitstafeln (Wahrheitswert) die Aussageschemata und deren junktorenlogische Verknüpfung nach »wahr« und »falsch« bestimmt, so dass auch das zusammengesetzte Aussageschema wieder wahrheitsdefinit ist. Als logische Partikel gelten dabei die Negation, die Adjunktion, die Konjunktion und die Implikation. In der Prädikaten- oder Quantorenlogik werden die nach dem Subjekt-Prädikat-Schema zerlegten Aussagen mit einem Allquantor oder Existenzquantor (Quantor) versehen, um deren Status als Allaussage oder Existenzaussage zu kennzeichnen.
PP
Logik,intensionale
Zweig der formalen Logik, der die in Verbindung mit intensionalen Phänomenen oder bei nicht ausschließlich extensionaler Deutung entstehenden logischen Gesetzmäßigkeiten untersucht. Der vermutlich erste systematische Versuch einer i.n L. stammt von Leibniz, der zwar eine extensionale, auf Begriffsumfängen beruhende Deutung der Logik kannte, jedoch die intensionale, begriffsinhaltliche Deutung in Übereinstimmung mit der philosophischen Tradition bevorzugte. Die moderne i.L. nimmt ihren Ausgang in der Beobachtung, dass die wahrheitsfunktionale Deutung logischer Konstanten nicht zur Darstellung aller intuitiv-logischen Zusammenhänge ausreicht. So entwickelte C. I. Lewis die moderne Modallogik aus dem Bestreben, den inhaltlichen Begriff logischer Folgerung, der nicht durch die materiale Implikation wiedergegeben werden kann, durch eine notwendige materiale Implikation darzustellen. – Die sprachlogischen Interessen der analytischen Philosophie führten, auch in Verbindung mit wissenschaftstheoretischen Problemen, zu einer eingehenden Beschäftigung mit solchen sprachlichen Partikeln, die den Wahrheitswert einer Aussage in Abhängigkeit zu einer sprachlichen oder begrifflichen, also inhaltlichen, Darstellungsweise setzen, im Unterschied zu einer rein extensionalen, nur das jeweils Bezeichnete berücksichtigenden Funktionalität. Solche Partikel sind etwa die Formulierungen »es ist notwendig/möglich, dass_«, »Person P glaubt, dass_«, aber auch nichtwahrheitsfunktionale Aussagenverknüpfungen wie »während« oder »weil«. Demgemäß fallen unter die i.L. u.a. Modallogik, epistemische Logik, temporale Logik, deontische Logik, Konditionallogik, aber auch Relevanzlogik. Häufig werden als i.L. nur solche logischen Systeme bezeichnet, für die sich die grundlegenden Techniken in der Modallogik finden und die in der Praxis dadurch charakterisiert sind, dass sie zusätzlich zu den klassisch logischen Konstanten Aussageoperatoren oder Junktoren einführen, die nicht im Rahmen der klassischen Logik definierbar sind. Sofern man nicht auf einer grundsätzlichen, etwa mit der Extensionalitätsthese verbundenen Ablehnung der i.n L. besteht, kann sie deshalb prinzipiell als der Versuch einer Erweiterung der klassischen Logik verstanden werden. Dabei bleiben solche Systeme weitgehend unerfasst, die sich wie die intuitionistische Logik oder die Relevanzlogik als Alternative zur klassischen Logik verstehen und eine abweichende Deutung der in der klassischen Logik verwendeten logischen Konstanten vorschlagen. – Die semantische Darstellung einer i.n L. erfolgt aufgrund der vorherrschenden Verwendung mengentheoretischer oder algebraischer Mittel meist in einem extensionalen Rahmen. Verschiedentlich wird deshalb die Ansicht vertreten, die i. L. sei im Wesentlichen eine höherstufige Prädikatenlogik (intensionale Semantik).
UM
LIT:
- J. van Benthem: A Manual of Intensional Logic. Stanford 21988.
Logik,intuitionistische
die im Rahmen des Intuitionismus entwickelte formale Logik. Der Intuitionismus ist eine, vornehmlich von Brouwer begründete, konstruktivistische Position in der Philosophie der Mathematik, die Anfang des 20. Jh. als Reaktion auf die durch die logischen Antinomien ausgelöste Grundlagenkrise der Mathematik entstand. Er ist gekennzeichnet durch die Auffassung von Mathematik als schöpferischer, geistiger Tätigkeit, die auf einer ›Ur-Intuition‹ beruht, der etwa die natürlichen Zahlen entspringen, und durch die mathematische Objekte und Sachverhalte erst konstruiert werden. Diese bestehen also nicht unabhängig vom menschlichen Denken und Erkennen. Daraus ergibt sich eine Ablehnung des Aktual-Unendlichen. Unendlichkeit besteht in unbegrenzter Fortsetzbarkeit und ist damit potentielle Unendlichkeit. Diesen finitistischen Standpunkt teilt der Intuitionismus mit dem Formalismus der Hilbert’schen Schule, als dessen Gegenposition er sich verstand. Im Unterschied zu Letzterem sieht der Intuitionismus das Wesen der Mathematik nicht im kalkülmäßigen Operieren mit ansonsten bedeutungslosen Zeichenfolgen. Für die i. L. bedeutet die Kritik am Aktual-Unendlichen eine Änderung des Wahrheits- wie des Existenzbegriffs gegenüber der klassischen Logik. Intuitionistisch wird Wahrheit als Beweisbarkeit und Existenz als effektive Konstruierbarkeit verstanden. Dies führt zu der, für die i. L. charakteristischen, Preisgabe des tertium non datur, A∨¬A. Damit ist die klassische Tautologie ¬¬A → A intuitionistisch ebenfalls nicht beweisbar. Umgekehrt ergibt sich die klassische Logik aus der intuitionistischen durch Hinzunahme des tertium non datur. Ebenso werden indirekte Existenzbeweise, wie etwa die Ableitung eines Widerspruchs aus der Annahme der Nichtexistenz, intuitionistisch nicht anerkannt. Die i. L. ist somit (echt) enthalten in der klassischen Logik, d.h. jede intuitionistisch beweisbare Formel ist auch klassisch beweisbar, aber nicht umgekehrt. Allerdings gilt, dass, wenn A klassisch beweisbar ist, dann ¬¬A in der i.n L. beweisbar ist.
Die erste vollständige Formalisierung der i.n L. stammt von Heyting (1930). Eine nur geringfügig schwächere Axiomatisierung wurde jedoch bereits 1925 von Kolmogorow vorgeschlagen. Nach diesen Darstellungen in Form axiomatischer Hilberttypkalküle gelang Gentzen 1934 eine Formalisierung der i.n L. durch einen Sequenzenkalkül und einen Kalkül des Natürlichen Schließens, die dem epistemischen Charakter der i.n L. angemessener erscheinen. Bemerkenswert ist die Tatsache, dass der intuitionistische Sequenzenkalkül aus dem klassischen gewonnen werden kann, indem nur Sequenzen zugelassen werden, die im hinteren Teil, dem Sukzedens, aus höchstens einer Formel bestehen.
Der semantische Aufbau der i.n L. gestaltete sich schwieriger. Einem Ergebnis von Gödel zufolge (1932) ist es nicht möglich, die i. Aussagen-L. durch Bewertungen mit endlich vielen Wahrheitswerten zu charakterisieren. Zudem sind (nach einem Resultat von McKinsey, 1939) die Junktoren der i.n L. voneinander unabhängig, also nicht wechselseitig auseinander definierbar. Die in den dreißiger Jahren entwickelte algebraische Semantik der i.n L. legte jedoch eine topologische Interpretation für die i.L. nahe. Formal ergibt sich diese aus dem Umstand, dass die offenen Punkte eines topologischen Raumes das klassische Beispiel sog. Heytingalgebren sind, mit denen die algebraische Struktur der i.n L. dargestellt wird. Da gewisse modallogische Systeme ebenfalls eine topologische Deutung erlauben, ergibt sich daraus die interessante Möglichkeit der Übersetzung der i.n L. in die Modallogik. Die naheliegendste Übertragung gelingt hierbei in das modallogische System S4, für dessen Modalitäten dadurch gleichzeitig eine Beweisbarkeitsinterpretation gegeben wird (Notwendigkeit wird dann verstanden als »beweisbar mit korrekten logischen Mitteln«). Eine solche Übertragung wurde 1932 von Gödel formuliert und 1948 von McKinsey und Tarski streng bewiesen. Indirekt resultiert aus dem Zusammenhang von i.r L. und Modallogik auch ein semantischer Aufbau der i.n L. Die durch Kripke Mitte der sechziger Jahre entwickelte Semantik für die i.L. ist im Wesentlichen eine Semantik der möglichen Welten, wie sie, ebenfalls v.a. von Kripke, zuerst für die Modallogik vorgeschlagen wurde. Formal weitgehend ähnliche Ansätze wurden einige Jahre zuvor von Beth und, etwa zeitgleich mit Kripke, von Grzegorczyk vorgeschlagen. Grundsätzlich soll dabei, wie Grzegorczyk meint, die i.L. als die Logik wissenschaftlicher Forschung betrachtet werden, die klassische Logik dagegen als die Logik eines ontologischen Standpunktes. Inwieweit die Kripke-Semantik der epistemischen Motivation der i.n L. allerdings gerecht wird, ist eine noch offene Frage. Anschaulich wird der klassische Wahrheitsbegriff dabei ersetzt durch die ›Wissenszustände‹ oder ›Informationsstadien‹ eines idealen Forschers, der sich weder mit dem Erwerb neuen Wissens irrt, noch früheres Wissen vergisst (und damit eine gewisse Monotonie-Eigenschaft besitzt). Dies führt formal (für den aussagenlogischen Fall) zu sog. Kripke-Modellen M = , bestehend aus einer nicht-leeren Menge W (anschaulich die genannten Informationsstadien), einer Halbordnung ≤ auf W und einer Funktion V, die jedem Element w von W eine Menge der in w ›gewussten‹ oder ›ermittelten‹ Elementaraussagen (also Atomformeln) zuordnet derart, dass für w≤w' V(w) eine Teilmenge von V(w') ist. Die semantische Grundrelation M ⊨w A – lies: w erzwingt A (in M) –, die die klassische Erfüllungsrelation ersetzt, wird induktiv definiert durch:
(1) für eine Atomformel p: M ⊨w p genau dann, wenn p ∈ V(w)
(2) M ⊨w A ∧ B gdw M ⊨w A und M ⊨w B
(3) M ⊨w A ∨ B gdw M ⊨w A oder M ⊨w B
(4) M ⊨w A B → gdw für alle w' mit w≤w': wenn M ⊨w' A, dann M ⊨w' B
(5) M ⊨w ¬A gdw für kein w' mit w≤w': M ⊨w' A.
Für die Prädikatenlogik müssen zusätzliche Regeln für die in dem durch die Informationsstadien dargestellten Forschungsprozess ›konstruierten‹ Objekte formuliert werden, die garantieren, dass einmal konstruierte Objekte auch auf allen späteren Stufen zur Verfügung stehen.
Relativ zu der skizzierten Semantik lässt sich die Vollständigkeit ebenso wie Korrektheit der i.n L. beweisen. Dabei ist allerdings zu bemerken, dass die Vollständigkeitsbeweise für die i. Prädikaten-L. ursprünglich selbst nicht konstruktiv bzw. intuitionistisch formuliert waren. Dies liegt an der generell nicht konstruktiven Natur von Vollständigkeitsbeweisen, die zeigen, dass es für jede semantisch gültige Formel einen Beweis gibt, ohne eine solchen auch tatsächlich immer zu konstruieren, wie es für den intuitionistischen Existenzbegriff erforderlich wäre. Erst 1974 gelang durch Veldman ein intuitionistisch annehmbarer Vollständigkeitsbeweis für die i.L. mit Hilfe einer modifizierten Kripke-Semantik. – Die i. Aussagen-L. ist ebenso wie die klassische entscheidbar. Anders als im klassischen Fall ist allerdings bereits die monadische i. Prädikaten-L. nicht mehr entscheidbar.
Neben ihrer ausgeprägten epistemischen Motivation ist die i. L. philosophisch auch deshalb von Bedeutung, weil sie einen naheliegenden Ausgangspunkt für die Untersuchung der verschiedenen strukturellen Eigenschaften logischer Systeme darstellt. So liegen etwa zwischen der intuitionistischen und der klassischen Aussagenlogik überabzählbar viele sog. intermediäre Logiken, die als distributiver Verband angeordnet werden können. – Die i.L. ihrerseits ist eine echte Erweiterung des sog. Minimalkalküls von Johansson, aus dem sich die i. L. durch Hinzunahme des Axioms ¬p →(p → q) ergibt. In jüngster Zeit wird ein wachsendes Interesse der theoretischen Informatik an der i.n L. sichtbar, die sich, entsprechend ihrer epistemischen Motivation, als eine Logik der Informationsstrukturen verstehen lässt. So versteht sich die in den letzten Jahren von J. Girard vorgeschlagene lineare Logik als eine das konstruktivistische Element der i.n L. noch verstärkende Logik. – Auf der Grundlage der i.n L. wurde eine formale Darstellung der intuitionistischen Mathematik bis hin zur Analysis gegeben. Diese sieht sich allerdings der Schwierigkeit gegenüber, zahlreiche, für die klassische Mathematik konstitutive Begriffe wegen ihres nicht-konstruktivistischen Charakters nicht benützen zu können. Hierzu zählt u. a. der übliche Mengenbegriff, der faktisch eine Etablierung des Aktual-Unendlichen bewirkt.
UM
LIT:
- M. Dummett: Elements of Intuitionism. Oxford 1977
- M. Fitting: Intuitionistic Logic, Model Theory and Forcing. Amsterdam 1969
- A. Troelstra/D. van Dalen: Constructivism in Mathematics. Amsterdam 1988.
Logik,modale
Modallogik
Logik,mehrwertige
(many-valued logic). Der Begriff umfasst Theorien der Logik, und zwar insbesondere der dreiwertigen Logik, denen die Auffassung gemeinsam ist, dass atomare Aussagen, einen von mehr als zwei Wahrheitswerten haben können. Nach der klassischen, zweiwertigen Logik sind Aussagen entweder wahr oder falsch, d.h. dass jede Aussage genau einen dieser beiden Wahrheitswerte haben muss. Man bezeichnet dieses Prinzip als Zweiwertigkeitsprinzip oder auch, nach J. Lukasiewizc, als Bivalenzprinzip oder Zweiwertigkeitssatz. Im Unterschied zur klassischen Logik geht man in der dreiwertigen Logik, die von Lukasiewizc (1920) und E.L. Post (1921), unabhängig voneinander, begründet worden ist, davon aus, dass man atomaren Aussagen neben den Wahrheitswerten »wahr« und »falsch« einen dritten Wahrheitswert »unbestimmt« zusprechen kann. Den entscheidenden Anknüpfungspunkt bildet für Lukasiewizc das von Aristoteles im 9. Kap. seiner Schrift De interpretatione erörterte Problem des Wahrheitswertes von Aussagen über kontingent-zukünftige Ereignisse. Aristoteles setzt sich dort mit der Frage auseinander, ob Aussagen über Ereignisse, die in der Zukunft sowohl eintreten als auch ausbleiben können, bereits in der Gegenwart einen Wahrheitswert haben, auf die er nach der sog. traditionellen Deutung eine verneinende Antwort gibt. Lukasiewizc hat sich nun durch die Aristotelischen Überlegungen zur Entwicklung eines dreiwertigen aussagenlogischen Systems inspirieren lassen. In der Sprachanalyse lassen es die Vagheit der umgangssprachlichen Begriffe und ebenso das Problem der leeren Kennzeichnungen sinnvoll erscheinen, einen dritten Wahrheitswert anzunehmen (U. Blau). Zu den weiteren Problemen, die zur Entwicklung einer m.L. Anlass gegeben haben, gehören in erster Linie in der Mathematik solche Aussagen, für die es kein Entscheidungsverfahren gibt (S. C. Kleene), das Problem der unbestimmten Aussagen in der Quantentheorie und das Problem des Verhältnisses zwischen Wahrheit und Wahrscheinlichkeit. In der mathematischen Theorie mehrwertiger Logiken spielt der Begriff der logischen Matrix eine zentrale Rolle, der es erlaubt, mehrwertige junktorenlogische Systeme in großer Allgemeinheit auf mathematisch-algebraische Weise zu behandeln. So lassen sich auch für m.L.en Begriffe wie Tautologie, Folgerung etc. definieren. Die Funktion, die der Wahrheitswert wahr in der klassischen Logik erfüllt, wird in der m.L. von den sog. »ausgezeichneten« Wahrheitswerten übernommen.
JH
LIT:
- U. Blau: Die dreiwertige Logik der Sprache. Ihre Syntax, Semantik und Anwendung in der Sprachanalyse. Berlin u. a. 1978
- N. ffenberger: Zur Vorgeschichte der mehrwertigen Logik in der Antike. Hildesheim 1990
- N. Rescher: Many-Valued Logic. New York 1969
- P. Rutz: Zweiwertige und mehrwertige Logik. Ein Beitrag zur Geschichte und Einheit der Logik. Mnchen 1973.
Logik,deontische
auch Logik des Normativen, Anwendung der formalen Logik auf das Gebiet des Normativen. In Anlehnung an die Modallogik und deren Operatoren (notwendig, möglich, nicht-möglich, kontingent) werden als deontische Operatoren »ist erlaubt«, »ist verboten«, »ist indifferent« eingeführt. Der propositionale Teil einer Normaussage beinhaltet keinen Sachverhalt, sondern ist als Bezeichnung für Handlungstypen zu verstehen. Der Grundbegriff der Deontik ist »p soll sein« (oder »p ist geboten«), der mittels eines logischen Satzoperators »O« (für »obligatorisch«) durch »Op« wiedergegeben werden kann. Der Operator »O« wird formal wie ein Modaloperator behandelt. Er kann definitorisch zurückgeführt werden auf den Operator »P«: Op kann als Abkürzung für »non-p non P« (nicht-p ist nicht erlaubt) verstanden werden. V. Wright wählt als Grundoperator den Operator »P« (für »permissio«) für »erlaubt sein« und führt zwei grundlegende Axiome ein: das Prinzip der Erlaubtheit und das Prinzip der deontischen Distribution. Das Prinzip der Erlaubtheit besagt, dass eine Handlung oder ihr Gegenteil erlaubt ist (Abk.: Pp oder non- Pp); das Prinzip der deontischen Distribution besagt, dass zwei Handlungen p oder q nur dann erlaubt sind, wenn entweder p oder q oder beide erlaubt sind (Abk.: »P(p oder q)« dann und nur dann, wenn »Pp oder Pq«). Als deontische Regel gilt: Wenn »p« und »q« logisch äquivalent sind, so sind auch »Pp« und »Pq« logisch äquivalent. Diese Ersetzungsregel gestattet es, elementare deontische Aussagen, die mit dem Operator »P« beginnen, wechselseitig füreinander einzusetzen, wenn die fraglichen Handlungen durch logisch äquivalente Aussagen beschrieben werden. – Die d. L. dient der Analyse normativer Aussagen, um die Argumentationsstruktur von Handlungsbegründungen und die Rationalität von zielgerichtetem Handeln aufzuzeigen. Im Vordergrund steht die Analyse des formalen Problems, wie normative Aussagen untereinander und mit anderen Aussagen so verknüpft werden können, dass diese Verknüpfung Anspruch auf allgemeine Verbindlichkeit erheben kann. Die d. L. wird in diesem Verständnis als eine Logik präskriptiver Sätze aufgefasst, d.h. die Ausdrücke »es ist geboten, dass...«, »es ist verboten, dass...« werden in einem normativen Sinne verstanden. In einem anderen Verständnis wird die d.L. als deskriptive d. L. aufgefasst, d.h. deontische Aussagen sind als elliptische Feststellungen zu verstehen, in denen vom Gebotensein, Erlaubtsein, Verbotensein seitens irgendwelcher Institutionen oder personaler Autoritäten die Rede ist. Dazu müssten die normsetzenden Mächte (Normquelle) und die Normadressaten mitaufgeführt werden.
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LIT:
- F. v. Kutschera: Einfhrung in die Logik der Normen, Werte und Entscheidungen. Freiburg/Mnchen 1973
- W. Stegmller: Hauptstrmungen der Gegenwartsphilosophie. Bd. II. Stuttgart 1975. S. 156 ff
- H. v. Wright: Handlung, Norm und Intention. Untersuchungen zur deontischen Logik. Berlin u. a. 1977.
Logik,elementare Gesetze der
Dazu zählen der Satz von der Identität, der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch, der Satz vom ausgeschlossenen Dritten und der Satz der Kontravalenz.
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